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Introducción y Justificación
La enseñanza matemática secundaria dedica poco tiempo al estudio de los números naturales. Sobre este tema, en los programas de estudio de secundaria, se evidencia una enseñanza muy algoritmizada y sintáctica, en la cual, los estudiantes deben memorizar algorítmos que carecen de justificación teórica, como por ejemplo: algoritmos de factorización de un número y el algoritmo para calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

Dentro de los tópicos más importantes en el estudio de los números naturales están los métodos de factorización prima, pues son utilizados, por ejemplo, en la obtención del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, en operaciones con fracciones y en la factorización de polinomios. Sin embargo, en secundaria, se suele usar un método muy ineficiente, lo que provoca que se trabaje con números pequeños, y en consecuencia, la mayoría de problemas sean descontextualizados.

En el presente trabajo, se brinda una presentación a un nivel elemental y completo de los métodos de factorización, específicamente el método de Fermat y el método de Euler. En la primera parte, se incluye una breve biografía de ambos, ya que son considerados los que mayores aportes han hecho en lo que respecta al tema. En cada una se resaltan algunas de sus contribuciones al desarrollo de la teoría de números. En la segunda parte, se brinda un tratamiento sencillo y didáctico de algunos tópicos de la teoría de números. Finalmente, en la tercera parte, se logra realizar una clasificación de algunos métodos de factorización prima, de los cuales se brinda su algoritmo, entre ellos, los propuestos por Fermat y Euler.

Este material está dirigido a docentes de secundaria y se espera que encuentren en él algunas ideas para introducir ciertos tópicos de Teoría de Números.







factorizacion


En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados (a - b)(a + b).





Factorizar un polinomio [editar]Antes que nada, hay que decir que no todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos sí se puede. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.

Binomios
Diferencia de cuadrados
Suma o diferencia de cubos
Suma o diferencia de potencias impares iguales
Trinomios
Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio de la forma x²+bx+c
Trinomio de la forma ax²+bx+c
Polinomios
Factor común

Caso I - Factor común [editar]Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.


Factor común monomio [editar]Factor común por agrupacion de términos




Factor común polinomio [editar]Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.

un ejemplo:


Se aprecia claramente que se esta repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:


La respuesta es:


En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:


Se puede utilizar como:


Entonces la respuesta es:



Caso II - Factor común por agrupación de términos [editar]Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir:




Un ejemplo numerico puede ser:


entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:


Aplicamos el primer caso (Factor común)




Caso III - Trinomio cuadrado perfecto [editar]Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un T.C.P. debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.

Ejemplo 1:



Ejemplo 2:


Ejemplo 3:


Ejemplo 4:


Organizando los términos tenemos


Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:



Caso IV - Diferencia de cuadrados [editar]Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo.


O en una forma mas general para exponentes pares:


Y utilizando una productoria podemos definir una factorizacion para cualquier exponente, el resultado nos da r+1 factores.


Ejemplo 1:


Ejemplo 2: Supongamos cualquier r, r=2 para este ejemplo.




La factorización de la diferencia o resta de cuadrados consiste en obtener las raíz cuadrada de cada término y representar estas como el producto de binomios conjugados.


Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción [editar]Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.



Caso VI - Trinomio de la forma x2 + bx + c [editar]Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio. Ejemplo:


Otro ejemplo:


la factorización queda como:


ya que:



Caso VII Suma o diferencia de potencias a la n [editar]La suma de dos números a la potencia n, an +bn se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar):

Quedando de la siguiente manera:


Ejemplo:


La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Que dando de la siguiente manera:


Ejemplo:



Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta generalización.


Caso VIII Trinomio de la forma ax2 + bx + c [editar]En este caso se tienen 3 términos: El primer término es un cuadrado perfecto, osea que tiene raíz cuadrada exacta, el segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, osea sin una parte literal, asi´:

4x2 + 15x + 9,

Para factorizar una expresion de esta forma; primero se coje el termino al lado de x^2 y se multiplica por toda la expresion pero dejando el segundo termino igual pero en parentesis y dejando todo esto en una fraccion. usando como denominador el termino que estamos multiplicando, multiplicandolo con el 1



Luego separamos en dos fracciones el termino



Y despues procedemos a eliminar las fracciones






La factorización de enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y la factorización de polinomios (en ciertos contextos) en el teorema fundamental del álgebra.







MÉTODO DE FACTORIZACIÓN

Para resolver una ecuación del tipo: ax2 + bx + c = 0, por el método de factorización se deben seguir los siguientes pasos:

Se descompone en 2 factores el primer término de la ecuación.

Después en el primer factor se pone el signo del segundo término del trinomio.

Mientras que en el segundo factor se pone el signo que resulta de la multiplicación del signo del segundo término por el signo del tercer término del trinomio.

Ahora se deben encontrar dos números que sumados den el segundo término y multiplicados den cómo resultado el tercer término. Estos números se pueden encontrar sacando el mínimo común múltiplo de 187.

Una vez encontrados los números que, en donde los dos factores se están multiplicando, dándonos como resultado 0, se puede concluir que uno de los dos factores es 0, ya que cualquier numero multiplicado por 0, da como resultado 0, por lo que se procede a igualar dos factores a 0.

Después se despeja X en los dos factores.

Por lo que el resultado para X, es X1 y X2.

Por ejemplo. Resolver la siguiente ecuación:

x2 - 28x + 187 = 0

(X ) (X ) = 0


(X - ) (X ) = 0


(X - ) (X - ) = 0


187 11

17 17

1

(X - 17) (X - 11) = 0


X - 17 = 0 X - 11 = 0

X1 = 17 X2= 11

FORMULA GENERAL

Para resolver una ecuación del tipo: ax2 + bx + c = 0, por el método de formula general se deben seguir los siguientes pasos:

En este método de resolución, sólo hay que seguir la formula general para poder llegar a la resolución. La formula es:


-b + b2 - 4 a c

2a

Solo hay que sustituir los valores de a, b y c en la formula.

Un ejemplo de cómo resolver una ecuación cuadrática por este método es el siguiente:

x2 - 28x + 187 = 0

a = 1 b = -28 c = 187


- ( -28) + ( -28)2 - 4 ( 1 ) ( 187)

2 (1)


28+ 784 - 748

2


28+ 36

2

28+ 6

2

28+ 6 34 X1 = 17

2 2


28- 6 22 X2 =11 2 2

X1, y X2, son el resultado que se obtuvo de la ecuación, por tanto son las dos posibles soluciones para X.

COMPLETANDO EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Para comprender mejor este método, consideremos primero la ecuación del tipo: X2 + bx + c = 0, podemos escribir esta ecuación del siguiente modo: X 2 + bx = -c. Si observamos el primer miembro veremos que al binomio X2 + bx le falta un término para ser un trinomio cuadrado perfecto. Tal término es el cuadrado de la mitad del coeficiente del segundo término (b/2)2, o lo que es lo mismo b2/4.

En efecto, formamos así un trinomio cuyo primer término es el cuadrado de x; su segundo término es el doble producto de x por b/2; y su tercer término es el cuadrado de la mitad del coeficiente del segundo término (b/2)2 o sea b2/4. Para que no se altere la ecuación le agregamos al segundo miembro la misma cantidad que le agregamos al primer miembro.

Así tendremos: X2 + bx + (b2/4) = b2/4) - c. En el primer miembro de esta ecuación tenemos un trinomio cuadrado perfecto.

Factoramos: (x+b/2)2 = b2/4 - c. Extraemos la raíz cuadrada a ambos miembros:

(x+b/2)2 = + b2/4 - c


x + b/2 = + b2/4 - c


X = - b/2 + b2/4 - c

Ahora resuelva la siguiente ecuación por este método:

X2 - 28x + 187


X = - (-28)/2+ (-28)2/4 - (187)


X = 14 + 196 - 187


X = 14 + 9


X = 14 + 3


X1 = 14 + 3 = 17


X2 = 14 - 3 = 11

MÉTODO GRÁFICO

Para poder llegar a la solución de una ecuación cuadrática por el método gráfico es necesario seguir los siguientes pasos:

Se iguala la ecuación a Y.

Se hace una tabla para poder encontrar los valores de Y, sustituyendo en la ecuación los valores que nosotros le demos a X. Los cuales son recomendables que sean números positivos y negativos.

Una vez encontradas los valores de X y Y sé grafican.

El resultado será aquellos puntos que toque el eje de las X.

Por ejemplo:

Resolver la siguiente ecuación cuadrática por el método gráfico.

x2 - 28x + 187 = 0

x2 - 28x + 187 = 0

Ahora se sustituyen en la ecuación los valores que le dimos a X, para poder encontrar los valores de Y.

(7)2 - 28(7) + 187 = 40

(8)2 - 28(8) + 187 =27

(9)2 - 28(9) + 187 =16

(10)2 - 28 (10) + 187 =7

(11)2 - 28 (11) + 187 =0

(12)2 - 28 (12) + 187 =-5

(13)2 - 28 (13) + 187 =-8

(14)2 - 28 (14) + 187 =-9

(15)2 - 28 (15) + 187 =-8

(16)2 - 28 (16) + 187 =-5

(17)2 - 28 (17) + 187 =0

(18)2 - 28 (18) + 187 =7

(19)2 - 28 (19) + 187 =16

(20)2 - 28 (20) + 187 =27

Ahora con estos valores se pasa a graficar para ver cuales son los valores que pasan por el eje de las x.


Como se puede ver los valores que cruzan el eje de las x es 11 y 17, por tanto X1 = 11 y X2 = 5.


La factorización LU
Supongamos que A se puede factorizar como el producto de una matriz triangular inferior L con una matriz triangular superior U:



A = LU (51)




En este caso, el sistema de ecuaciones dado por (44) podría representarse en la forma:


LUx=b (52)




Si denominamos z a la matriz columna de n filas resultado del producto de las matrices Ux, tenemos que la ecuación (52) se puede reescribir del siguiente modo:


Lz=b (53)




A partir de las ecuaciones (52) y (53), es posible plantear un algoritmo para resolver el sistema de ecuaciones empleando dos etapas:
Primero obtenemos z aplicando el algoritmo de sustitución progresiva en la ecuación (53).
Posteriormente obtenemos los valores de x aplicando el algoritmo de sustitución regresiva a la ecuación


Ux = z



El análisis anterior nos muestra lo fácil que es resolver estos dos sistemas de ecuaciones triangulares y lo útil que resultaría disponer de un método que nos permitiera llevar a cabo la factorización A=LU. Si disponemos de una matriz A de , estamos interesados en encontrar aquellas matrices:







tales que cumplan la ecuación (51). Cuando esto es posible, decimos que A tiene una descomposición LU. Se puede ver que las ecuación anterior no determina de forma única a Ly a U. De hecho, para cada i podemos asignar un valor distinto de cero a lii o uii (aunque no ambos). Por ejemplo, una elección simple es fijar lii=1 para haciendo de esto modo que L sea una matriz triangular inferior unitaria. Otra elección es hacer U una matriz triangular superior unitaria (tomando uii=1 para cada i).
Para deducir un algoritmo que nos permita la factorización LU de Apartiremos de la fórmula para la multiplicación de matrices:



(54)




en donde nos hemos valido del hecho de que lis=0 para s >i y usj=0 para s>j.
En este proceso, cada paso determina una nueva fila de U y una nueva columna de L. En el paso k, podemos suponer que ya se calcularon las filas de U, al igual que las columnas de L. Haciendo i=j=k en la ecuación (54) obtenemos



(55)




Si especificamos un valor para lkk (o para ukk), a partir de la ecuación (55) es posible determinar un valor para el otro término. Conocidas ukk y lkk y a partir de la ecuación (54) podemos escribir las expresiones para la k-ésima fila (i=k) y para la k-ésima columna (j=k), respectivamente:

(56)
(57)




Es decir, las ecuaciones (57) se pueden emplear para encontrar los elementos ukj y lik.
El algoritmo basado en el análisis anterior se denomina factorización de Doolittle cuando se toman los términos lii = 1 para (L triangular inferior unitaria) y factorización de Crout cuando se toman los términos uii=1 (U triangular superior unitaria).

Una implementación en pseudocódigo del algoritmo para llevar a cabo la factorización LU se muestra en la figura (11).




Figure: Implementación del algoritmo de la factorización LU.



Es interesante notar que los bucles que permiten el cómputo de la k-ésima fila de U y de la k-ésima columna de L se pueden llevar a cabo en paralelo, es decir, pueden evaluarse simultáneamente sobre dos procesadores, lo que redunda en un importante ahorro del tiempo de cálculo.

Ejemplo: Encuentre las factorizaciones de Doolittle y Crout de la matriz:







La factorización de Doolittle es, a partir del algoritmo:







En vez de calcular la factorización de Crout directamente, la podemos obtener a partir de la factorización de Doolittle que acabamos de ver. Efectivamente, si tenemos en cuenta que la matriz A es simétrica, es posible comprobar que se cumple la relación:



A = LU = UTLT



por lo que la factorización de Crout resulta ser:











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